Движение тел, брошенных горизонтально

Тело можно бросить и так, чтобы его начальная скорость v₀ будет направлена горизонтально (α = 0). Так направлена, например, начальная скорость тела, оторвавшегося от горизонтально летящего самолета. Легко понять, по какой траектории будет двигаться тело. Обратимся к рисунку 15, на котором показана параболическая траектория движения тела, брошенного под углом α к горизонту. В высшей точке траектории параболы скорость тела как раз и направлена горизонтально. Как мы уже знаем, за этой точкой тело движется по правой ветви параболы. Очевидно, что и всякое тело, брошенное горизонтально, тоже будет двигаться по ветви параболы.

Траекторию движения тел, брошенных горизонтально или под углом к горизонту, можно наглядно изучить в простом опыте. Сосуд, наполненный водой, располагают на некоторой высоте над столом и соединяют резиновой трубкой с наконечником, снабженным краном. Выпускаемые струи воды непосредственно показывают траектории движения частиц воды. Таким образом можно наблюдать траектории при разных значениях угла падения α и скорости v₀.

Время движения тела, брошенного горизонтально с некоторой начальной высоты, определяется только тем временем, которое необходимо для свободного падения тела с этой начальной высоты. Поэтому, например, пуля, выпущенная стрелком из ружья в горизонтальном направлении, упадет на землю одновременно с пулей, оброненной случайно в момент выстрела (при условии, что стрелок роняет пулю с той же высоты, на которой она находится в ружье в момент выстрела!..). Но оброненная пуля упадет у ног стрелка, а пуля, вылетевшая из ружейного ствола – во многих сотнях метров от него.

Пример решения задачи

Именно этот пример был выбран по той причине, что рассматриваемая задача имеет достаточно общий характер и позволяет на примере ее решения лучше понять все особенности движения тела под действием силы тяжести.

Исходные предположения, налагаемые на условия решения задачи

При решении этой задачи мы будем использовать только два исходных предположения:

1. мы будем пренебрегать зависимостью величины модуля вектора ускорения свободного падения от высоты, на которой находится тело в любой момент движения (см. рис. 11 и комментарий к нему)
2. мы будем пренебрегать кривизной земной поверхности при анализе движения тела (см. рис. 11 и комментарий к нему)

Условие задачи:

• положение и скорость тела через время t;
• уравнение траектории полета;
• нормальное и тангенциальное ускорения и радиус кривизны траектории в момент t;
• полное время полета;
• наибольшую высоту подъема;
• угол, под которым надо бросить тело, чтобы высота его подъема была равна дальности полета (при условии, что x ₀  =  y ₀  = 0 ).

Решение

Направим оси прямоугольной системы координат X и Y по направлениям горизонтального и вертикального перемещений точки. Поскольку вектор ускорения свободного падения не имеет компоненты, параллельной оси X, то есть , векторные уравнения движения тела имеют вид:

;		(29)
.		(30)

В явном виде выражение для проекций векторных величин, входящих в первое уравнение, на оси системы координат, имеет вид, определяющий положение тела в момент времени t:

;		(31)
		(32)

Поскольку каждый вектор можно представить в виде суммы его проекций (это тоже векторы) на оси координат, каждое векторное уравнение может быть представлено в виде двух векторных уравнений, но уже для проекций. Выразив проекции векторных величин, входящих во второе уравнение, на оси системы координат, находим составляющие скорости

;		(33)
		(34)

и выражение для результирующей скорости (использована теорема Пифагора)

.

(35)

Тангенс угла между направлением результирующей скорости и осью X равен

,

(36)

то есть он меняется с течением времени. Это и понятно, поскольку величина скорости имеет геометрическую интерпретацию в виде величины тангенса угла наклона касательной к зависимости координаты или радиус-вектора от времени.

Исключив t из обоих уравнений, определяющих положение тела в момент t, получим уравнение траектории полета

(37)

Чтобы определить тангенциальное и нормальное ускорения тела в точке с координатами x, y, заметим, что полное ускорение тела все время направлено вниз и представляет собой только ускорение силы тяжести, (других сил и ускорений по условию задачи нет) . Тангенциальное ускорение равно проекции вектора на касательную к траектории (т. е. −g sinγ, как видно на пояснительном рисунке к задаче), а нормаль ускорения к касательной равна проекции −g cosγ (см. рис. 16)

Так как

;		(38)
,		(39)

то

;		(40)
		(41)

Найдем попутно приближенное значение радиуса кривизны (R) траектории в момент t. Принимая, что точка движется по дуге окружности (это приближение, упрощающее конечную математическую формулу результата, на самом деле не имеющее места и лучше всего выполняющееся вблизи точки максимального подъема тела), воспользуемся формулой

,

(42)

тогда

(43)

Максимальную дальность полета x_max найдем из условия y = 0. Полагая в уравнении траектории y = 0, получим квадратное уравнение, из которого можно найти x_max:

(44)

Если тело брошено из точки на поверхности, где и y = 0, задача существенно упрощается. Сокращая на (x_max −  x₀), находим, что

(44)

Полное время полета можно определить из формулы

.

(45)

Наибольшая высота подъема тела достигается в момент t тогда, когда v_y = 0. Так как составляющая вектора скорости вдоль оси Y равна , то в точке максимального подъема тела имеет место равенство v_y = 0, откуда получаем

(46)

Теперь используем уравнение для составляющей движения тела параллельно оси Y, задав в этом уравнении y =  y_max:

(47)

Исключив t из обоих уравнений, получим

.

(48)

Очевидно, что наибольшая высота подъема будет при α ₀  = 90°, т. е. когда тело брошено вертикально вверх.

Наконец, приравнивая x_max и y_max друг к другу (при условии, что x₀ = 0, y₀ = 0), получаем условие равенства максимальной высоты подъема и дальности полета тела

(45)

откуда tg α ₀ = 4; α ₀≈76°. При этой величине угла α₀ высота подъема тела равна горизонтальной дальности полета.

Найдем скорость тела в момента приземления v_рез (при условии, что x₀ = 0, y₀ = 0). Для этого подставим значение в выражение для скоростей v_x, v_y и v, а также в формулу для тангенса угла между v и осью X. При этом получим

; ;

Мы видим, что вертикальная составляющая вектора скорости тела во время полета меняется от до нуля и затем до . Горизонтальная составляющая вектора скорости остается постоянной и равной . Таким образом, модуль скорости v в полете все время меняется. Меняется также и направление скорости, так как тангенс угла между v и осью X уменьшается от tg α ₀ до нуля (в точке максимального подъема) и затем до −tg α ₀ (в точке приземления).