Движение тел, брошенных вертикально

При исследовании процесса движения тела, брошенного вертикально, необходимо различать два физически различных варианта движения.

Первый вариант движения имеет место в том случае, если тело, брошенное вертикально вверх, имеет настолько большую начальную скорость, что оказывается способным подняться на высоту, соизмеримую с величиной радиуса земного шара. Как мы уже ранее показали, в этом случае величина модуля вектора ускорения силы тяжести оказывается зависящей от величины высоты подъема тела (см. рис. 10). Это утверждение хорошо поясняется формулой

(18)

Эта формула отражает простой факт: равенство веса тела, находящегося на высоте h, силе гравитационного притяжения.

Из формулы (18) хорошо видно, что такое движение тела оказывается не равнозамедленным и не равноускоренным, поскольку величина ускорения завит от высоты подъема, а, стало быть, от времени движения тела.

Второй вариант движения (являющийся частным случаем первого) имеет место в том случае, если высота подъема тела над поверхностью Земли много меньше радиуса земного шара. При этом условии можно пренебречь зависимостью величины модуля вектора ускорения свободного падения от высоты, на которой находится тело и кривизной земной поверхности (см. рис. 11). На рис. 11 показано, что в любой точке, имеющей пару координат (x, y), векторы ускорения свободного падения параллельны друг другу, одинаково направлены и имеют одинаковую величину. При этом допущении в знаменателе правой части выражения (18) величина h отсутствует, и величина модуля вектора ускорения свободного падения оказывается не зависящей от высоты подъема тела над поверхностью Земли и определяется, в том числе, только величиной радиуса земного шара.

Проведение анализа по второму варианту существенно упрощает конечные формулы, но, как мы теперь уже знаем, такой анализ применим при достаточно малых величинах модуля вектора начальной скорости тела. Именно этот вариант анализа процесса движения мы и будем использовать далее. Определим, на какую высоту поднимется тело, брошенное вертикально вверх, имеющее начальную скорость, равную по модулю v₀. Для нахождения этой высоты мы воспользуемся законом сохранения суммы кинетической и потенциальной энергий при рассматриваемом движении. Физика процесса этого движения заключается в следующем: тело, имеющее начальную кинетическую энергию, равную , движется и при этом движении постоянно тратит свою кинетическую энергию на преодоление силы тяжести. В результате этой потери в точке максимального подъема скорость тела оказывается равной нулю, кинетическая энергия тела тоже оказывается равной нулю, а потенциальная энергия достигает своего максимального значения, равного mgh.

Таким образом начальная кинетическая энергия тела в точке максимального подъема полностью переходит в потенциальную энергию тела, поэтому имеет место равенство этих энергий, записываемой в виде:

.

(19)

Из последней формулы совсем просто определяется величина высоты подъема тела:

(20)

При решении задач, относящихся к такому движению, в качестве тела отсчета удобно принимать Землю с началом отсчета на ее поверхности или на любой точке выше или ниже поверхности, а координатную ось направлять вверх или вниз. Высоту тела над какой-то поверхностью принято обозначать буквой h (см. рис. 12). Тогда координата y тела – это просто высота h тела над точкой начала отсчета. Проекция вектора перемещения тела соответствует изменению высоты h − h₀, где h₀ – начальная высота.

Формулы для вычисления координат (высот) и скоростей ничем не отличаются от формул, которые применяются для прямолинейного равноускоренного движения.

Координата тела (высота):

;

(21)

скорость тела в любой момент времени:

;

(22)

скорость тела в любой точке траектории:

.

(23)